Los números y los números primos.
Publicado 2020-08-31
¿Qué es un número primo?
Todos conocemos los números naturales y cómo estos los dividimos en números primos y compuestos:
- Número primo: aquel que solo es divisible por sí mismo y por el número 1.
- Número compuesto: aquel que es divisible por sí mismo, por el número 1 y por alguno más.
Con esto, lo primero que observamos es que los números primos tienen dos divisores (ellos mismos y el 1), pero ¿qué pasa con el 1? Pues es opinión de quien esto escribe, que realmente importa poco si el 1 es un número primo o no; pero lo cierto es que en todos los libros que he estudiado, siempre pone algo así como "sea $p>1$ un número primo..." Por lo tanto, el $1$ no es primo.
1.- ¿Cuántos números primos existen?
Esto mismo se preguntó Euclides y en el libro IX de sus elementos dio una demostración de que existen infinitos números primos.
Su demostración es muy elegante, pero no es una demostración directa, es decir, llega a la conclusión de que existen infinitos números primos porque deduce que si hubiera un número finito de números primos, puede inventarse una operación, por la cual siempre falta, al menos, un número primo.
Todo el párrafo anterior, que es un trabalenguas, es sencillo de comprender mediante la demostración del teorema: "Existen infinitos números primos". La demostración se hace mediante reducción al absurdo: Suponemos que la cantidad de números primos es finita, y llegamos a la conclusión de que siempre nos falta al menos uno. Voy a ir haciéndola mediante formalismo matemático, e ilustrándola con dos ejemplos (en azul y morado):
Conjunto de todos los números primos
Sea $P=\{p_1, p_2, p_3\ldots, p_n\}$ el conjunto de todos los números primos existentes (finito).
Sean $\color{blue}P=\{2,3,5\}$ el conjunto de todos los números primos (suponemos que solo existen esos tres, los demás, los suponemos compuestos).
Sean $\color{purple}P=\{2,3,5,7,11,13\}$ el conjunto de todos los números primos (suponemos que solo existen esos, los demás, los suponemos compuestos).
Producto de todos los números primos
Sea $\alpha=p_1\cdot p_2 \cdot p_3 \cdots p_n$ el producto de todos los números primos existentes. Es de hacer notar que $\alpha$ es divisible por todos los números primos que existen, sin embargo, $\alpha + 1$ no es divisble por ningún número primo existente.
Sea $\color{blue} 30=2\cdot 3\cdot 5$ el producto de todos los números primos existentes. Es evidente que $30$ es divisible por $2,\, 3,\, 5$ pero sin embargo $30+1=31$ no es divisible por ninguno de los números primos anteriores.
Sea $\color{purple} 30\ 030=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13$ el producto de todos los números primos existentes. Es evidente que $30\ 030$ es divisible por $2,\, 3,\, 5, \, 7,\, 11,\, 13$ sin embargo $\color{purple} 30\ 030+1=30\ 031$ no es divisible por ninguno de los anteriores primos ya que siempre deja por resto $1$.
Falta un número primo (al menos uno)
Como $\alpha +1$ no es divisible por ningún número primo existente, ya que deja siempre de resto 1 cuando se divide por ellos; eso implica que o bien $\alpha +1$ es un número primo o bien existe otro número primo que desconocíamos, $q$, que es divisor de $\alpha +1 $.
Como $31$ no se puede dividir por 2, 3, 5 ya que siempre deja de resto 1; esto significa que o bien 31 es un número primo, o bien existe un número distinto que divide a 31. En este caso el número 31 es primo per se.
Como $30\ 031$ no se puede dividir por $2,\, 3,\, 5,\, 7,\ 11,\, 13$ ya que siempre deja por resto $1$, esto significa que, o bien $30\ 031$ es un número primo (nuevo), o bien existe al menos un nuevo número primo que no conocíamos que divide a $30\ 031$. En este caso $30\ 031=59\cdot 509$
En la siguiente entrada veremos una forma muy sencilla de encontrar los números primos menores de uno dado.
BIBLIOGRAFÍA
- Boyer, C. B.; 1968; Historia de la matemática; Alianza Universidad Textos; Madrid; ISBN: 84-206-8094-X.
- Bujalance, E., Bujalance, J. A., Costa, A. F., Martínez, E.; 2005; Elementos de Matemática Discreta; Ed. Sanz y Torres; Madrid; ISBN: 84-96094-61-8
