Ternas Pitagóricas

Buenas tardes,

Hoy os voy a hablar de las Ternas Pitagóricas. Estos números (son 3, por eso se denominan terna), cumplen dos requisitos:
Son números enteros
Verifican el teorema de Pitágoras

Por ejemplo los números 3,4 y 5 forman una Terna. Las ternas son importantes, aparte de porque su estudio nos abre la puerta a propiedades profundas de los números enteros porque nos vana permintir medir ciertos ángulos.
¿Qué tipo de ángulos vamos a poder medir con las Ternas?
¿Podemos conseguir una forma para averiguar otras Ternas de forma sistemática?
¿Hay Ternas con todos los números impares o pares?

Estas preguntas y una aplicación de ellas os las contaré dentro de 2 semanas. Así os doy tiempo para que investiguéis sobre este tema

Números naturales

Los números naturales, constituyen el grupo de números más pequeño que existe. Mediante los números naturales podemos contar pues son: N={0, 1, 2, 3,…} Hay quien incluye el 0 como número natural y otros prefieren excluirlo.

El problema que tenemos con los números naturales es que no se pueden “construir”, es decir, no podemos razonar su existencia y su estructura. Este problema ya fue propuesto siglos atrás y fue el matemático italiano Giusseppe Peano quien propuso introducir los números naturales mediante cinco axiomas.

Un axioma no es más que un principio que no se puede demostrar, podemos justificarlo y podemos poner ejemplos de su veracidad, pero no se puede demostrar ni cierto ni falso. Los axiomas constituyen así los ladrillos de la Matemática, de forma que si se cambian los axiomas, se cambia el universo en el que nos movemos.

Como ejemplo de la importancia de los axiomas, baste por ejemplo aquel que propone en Geometría (denominada Euclídea) que por un punto exterior a una recta pasa únicamente una paralela a dicha recta. Si cambiamos este axioma y decimos que pueden pasar una, varias o ninguna recta, entramos en una nueva Geometría denominada Hiperbólica (por cierto con muchísimas aplicaciones prácticas).

Pero volvamos a los números naturales. Los cinco axiomas de Peano dicen lo siguiente:

• El 0 es un número natural
• Todo número natural posee sucesor
• Dos números naturales son iguales si tienen igual sucesor
• El 0 es el único número natural que no es sucesor de ningún otro
• Si una propiedad se cumple para el primer número natural y sus sucesores, entonces se cumple para todos los números naturales. Este último axioma, que se puede enunciar de diversas formas es lo que constituye el llamado Principio de Inducción, muy importante en la demostración de múltiples teoremas matemáticos.

Con estos axiomas podemos definir la suma y la multiplicación, pero no lo haremos aquí por escaparse a los objetivos de este blog. Lo que sí podemos hacer aquí es hablar de las distintas propiedades de la suma y de la multiplicación de los números naturales:

Para la suma tenemos las siguientes propiedades:

1. Conmutativa: a+b=b+a

2. Asociativa: a+(b+c)=(a+b)+c

3. Elemento Neutro: a+0=0+a=a

Para el caso de la multiplicación tenemos las siguientes propiedades:

1. Conmutativa: a·b=b·a

2. Asociativa: a· (b·c)=(a·b) ·c

3. Elemento Neutro: a·1=1·a=a

4. Propiedad distributiva respecto de la suma: a·(b+c)=a·b+a·c