Publicado: 2020-10-12
1.- ¿Cómo se calcula cuántos divisores posee un número?
Esta pregunta se la formulo a mis alumnos siempre. Algunos, muy intrépidos que confunden cuántos con cuáles, me piden que les diga un número, calculan los divisores del mismo y luego los cuentan. Al principio les doy un número fácil, como el $12$ el $18$ o el $26$, pero luego, cuando ya han cogido confianza les pregunto:
— "¿Y cuántos divisores tiene el 1200? total hay que añadir dos ceros más".
Ahí se dan cuenta que la pregunta tiene más enjundia de lo que parece.
La solución a esta pregunta es muy sencilla. En un primer momento, te voy a dar la fórmula mediante un ejemplo, y si te interesa, puedes ver la demostración después.
Ejemplo: ¿Cuántos divisores tiene 1200?. Lo primero que debes hacer es factorizarlo y obtienes lo siguiente:
$$1200=2^4\cdot 3\cdot 5^2$$
Ahora te debes fijar en los exponentes de cada uno de los factores:
- El exponente del DOS es 4.
- El exponente del TRES es 1.
- El exponente del CINCO es 2.
Pues bien, para saber cuántos divisores tiene $1200$ sumas UNO a cada uno de los exponentes y los multiplicas entre sí.
$$\#(1200)=(4+1)\cdot (1+1)\cdot (2+1)=30$$
Así, ya sabemos que el número de divisores de 1200 (que he representado con la almohadilla $\#$) es $30$ y todo ello sin calcular ninguno; porque la pregunta era ¿CUÁNTOS?, y no ¿CUÁLES?.
Ahora vamos con la demostración:
Sea un número $n$ cuya factorización es la siguiente:
$$ n=p_1^{\alpha_1}\cdot p_2^{\alpha_2}\cdot p_3^{\alpha_3}\cdots p_r^{\alpha_r}$$
Calcular cuántos divisores tiene el número $n$ consiste en calcular de cuántas maneras distintas puedo elegir cada uno de sus factores primos.
Es evidente que $\alpha_i\geq 0$. En particular si $\alpha_i=0$ significa que el primo $p_i$ no aparece en la descomposición factorial del divisor en cuestión.
Por tanto cada número primo $p_i$ que aparece en la descomposición factorial de $n$ puede ser elegido de $\alpha_i+1$ formas diferentes. Como hay $r$ números primos en la descomposición de $n$, esto significa que hay
$$(\alpha_1+1)\cdot (\alpha_2+1)\cdot (\alpha_3+1)\cdots (\alpha_r+1)$$
formas distintas de combinar todos los números primos de la factorización de $n$. Y cada una de estas elecciones constituye un divisor de $n$ diferente.
Y ahora una pregunta: "Dado un número $n$, ¿puede tener cualquier número (cantidad) de divisores?"
2.- ¿Cómo se conocen todos los divisores de un número?
Antes hemos resuelto la pregunta a ¿Cuántos divisores tiene un número? ahora vamos a resolver la pregunta ¿Cuáles son los divisores de un número?.
Como te puedes imaginar, debemos ir combinando todos los divisores primos del número de todas las maneras posibles para conocerlos todos. Si sabemos que el número de divisores es pequeño, digamos menos que 10, se pueden calcular sin excesiva dificultad "a ojo". Pero según aumenta el número de divisores de un número, necesitamos sistematizar el proceso, para no dejarnos ninguno por el camino.
Lo voy a explicar con dos ejemplos.
Ejemplo 1: Calcular todos los divisores de $72$
Lo primero que hacemos es factorizar el número $72= 2^3\cdot 3^2$.
Esto nos da la cantidad de divisores a buscar y los factores primos con los que vamos a trabajar.
$$\#(72)=(3+1)\cdot (2+1)=12$$
Una vez hecho esto debemos construir la siguiente tabla; ahora os explico cómo.
Las celdas que están en gris van a ser simplemente guías. Los divisores de 72 están sobre fondo blanco:
- Elegimos el primer factor primo ($2$) y colocamos todas sus potencias hasta el exponente de la factorización de $2$ en $72$, es decir, escribimos $2^0 $, $2^1 $, $2^2 $, $2^3 $.
- En la segunda fila (la primera en blanco), "traducimos" esas potencias de $2$ en los números que realmente son: $1,\ 2,\ 4,\ 8$. Estos son los divisores de 72 en los cuales solo aparecen potencias de $2$. Trazamos una linea completa horizontal, pues hemos acabado con el $2$.
- Vamos con el $3$. Escribimos en la zona gris la primera potencia de $3$, es decir $3^1$ (puedes reflexionar por qué no escribimos $3^0$). Y lo multiplicamos por toda la fila del 2. Así, obtenemos los números $3,\ 6,\ 12,\ 24$. Estos son los divisores de $72$ cuya descomposición factorial posee UN ÚNICO $3$ y todas las posibles combinaciones de $2$.
- Hemos acabado con $3^1$, nos queda $3^2$, como sigue siendo un $3$, no trazamos una línea horizontal completa, si no simplemente en la parte blanca (la de los divisores).
- Escribimos en la parte gris la siguiente potencia de $3$, es decir $3^2$, y repetimos los pasos anteriores: multiplicamos $3^2$ por todas las posibles potencias de $2$. Así obtenemos todos los divisores de $72$ en cuya descomposición factorial aparece el $9=3^2$ y todas las posibles potencias de $2$
- Como el último número que hemos calculado es $72$, el proceso se ha acabado.
Ejemplo 2: Calcula todos los divisores de 360
Igual que antes, lo primero es la factorización: $360=2^3\cdot 3^2\cdot 5$ (En total buscamos $4\cdot 3\cdot 2=24$ divisores). Una vez que lo tenemos, ahora hay que ir escribiendo la tabla:
 |
Divisores de $360$
|
- En primer lugar, colocamos las potencias de $2$ en la primera fila gris, escribimos su valor. Exactamente igual que antes.
- Y al igual que antes, colocamos las potencias de $3$: $3^1$ y $3^2$ para poder calcular los divisores de $360$ que poseen como factores primos el $3$ y el $2$.
- ¿Qué ocurre con el $5$?. Como se puede ver he colocado la potencia $5^1$ y lo he multiplicado por las tres filas anteriores. Y así conseguimos hallar los 24 divisores de $360$.
Ejemplo 3: Calcular todos los divisores de $12\ 600$:
Lo primero es factorizar el número $12\ 600=2^3\cdot 3^2\cdot 5^2\cdot 7$. Por lo tanto, estamos buscando $4\cdot 3\cdot 3\cdot 2 = 72$ divisores. No sé si con los ejemplos anteriores ha quedado claro, pero espero que con este ejemplo sí quede claro que es necesario ser muy metódico para hallar todos los divisores de un número.
A continuación tienes la tabla con todos los divisores de $12\ 600$ y paso a explicarte las diferencias con las anteriores:
 |
Divisores de $12\ 600$
|
- Espero que no haya ningún problema en llegar al número $360$de la tabla anterior. Con ese número se acaban todos los divisores de $12\ 600$ que poseen en su factorización $2$, $3$ y $5$.
- Como ya se ha acabado con el $5$, trazo una línea horizontal en la parte blanca. Ahora debemos seguir con $5^2=25$ porque en la factorización de $12\ 600$ "aparecen" dos cincos y solo hemos analizado uno de ellos.
- Esta nueva potencia, $25$ la debemos multiplicar por todos lo divisores ya calculados anteriormente. ¿Por todos, todos? Por todos, salvo aquellos que ya tienen un $5$ en su factorización, es decir, aquellos que hemos calculado en las filas en las que aparecen del $5$ al $360$.
- Así podemos hallar todos los divisores que tienen en su descomposición factorial el $2$, el $3$ y el $5^2$. Y con esto terminamos de estudiar el factor primo $5$. Trazamos una línea horizontal (también en la parte gris) y continuamos.
- Para estudiar el factor primo $7$, ahora debemos multiplicar este número por todos y cada uno de los divisores ya calculados. Son las nueve líneas que comprenden los números desde $7$ a $12\ 600$.
- He escrito unas líneas punteadas para que sirvan de guía para saber qué números estamos multiplicando:
- Los números de la primera fila son:
$7=7\cdot 1, 14=7\cdot 2$, $28=7\cdot 4$, $56=7\cdot 8$
- Los números de la segunda y tercera fila son:
$21 =7\cdot 3$, $42=7\cdot 6$, $84=7\cdot12$, $168=7\cdot 24$
$63=7\cdot 9$, $126=7\cdot 18$, $252=7\cdot 36$, $504=7\cdot 72$
- Y lo mismo para las restantes seis líneas.
BIBLIOGRAFÍA
- Bujalance, E., Bujalance, J. A., Costa, A. F., Martínez, E.; 2005; Elementos de Matemática Discreta; Ed. Sanz y Torres; Madrid; ISBN: 84-96094-61-8
