Solución a ¿Cuánto mide?

Hola,

Como os prometí, voy a daros la solución al pasatiempo de ¿Cuánto mide?. En él os pedía que calculáseis la distancia de la cuerda de la figura siguiente.



Bueno, para ello debemos fijarnos en esta nueva figura que nos va a servir de guía en todo el proceso de cálculo:


En esta figura podemos ver dos triángulos semejantes:

• C1,C2,D
• C1,C3,E

También nos es posible ver la mediatriz del segmento AB (que representamos con la letra h), que forma parte de otros dos triángulos:

• C2,A,D
• C2,B,D

Pues bien, ahora empieza la parte de cálculo:

Aplicando el Teorema de Thales para los triángulos C1,C2,D y C1,C3,E; tenemos que:
O lo que es lo mismo


Ahora bien, usando el teorema de Pitágoras en el triángulo C2,A,D obtenemos el siguiente razonamiento:

Más sobre Ruffini

El otro día hablábamos de la Regla de Ruffini, la demostramos y dimos un ejemplo.
Navegando por la Red, he encontrado una página donde se explica una generalización de esta regla.

Os doy la página en cuestión y a ella os remito para la explicación de este algoritmo modificado de Ruffini.

http://www.planetamatematico.com/index.php?option=com_content&task=view&id=341&Itemid=147

En esta página lo que se hace es un algoritmo para la división de polinomios entre polinomios, sin necesidad de escribir la "cajita" a la derecha del Dividendo con el divisor en su interior y proceder a la división "estándard".

Os recomiendo que la visitéis, y que juguéis con los ejemplos que allí aparecen para que podáis familiarizaros con ello y podáis hacer división de polinomios de forma rápida y eficaz.

Regla de Ruffini

La regla de Ruffini es un algoritmo que se usa para saber los divisores enteros de un polinomio con coeficientes enteros.

Esto que puede sonar un poco a trabalenguas es sencillo. Podemos usar la Regla de Ruffini para polinomios del tipo:

Pero no podemos usar la regla de Ruffini en polinomios con raíces o quebrados (números no enteros) tanto en los coeficientes como en el término independiente:

Debemos observar que no tenemos porqué tener el polinomio con todos los coeficientes de las x dsitintos de cero. La única condición es que estos coeficientes sean números enteros (de hecho, el 0 es un número entero.

La entrada de hoy va a estar dividida en dos partes perfectamente diferenciadas. Por un lado vamos a demostrar la regla de Ruffini, y por otro lado vamos a aplicar el algoritmo y a explicar qué estamos haciendo con dicho algoritmo.

1º DEMOSTRACIÓN DE LA REGLA DE RUFFINI

El teorema en el cual se basa la regla de Ruffini dice lo siguiente

Las raíces enteras de un polinomio P(x) con coeficientes enteros, son divisores del término independiente

Supongamos un polinomio P(x) de grado n, con todos lo coeficientes enteros, como el que sigue


Sea r una raiz entera de P(x), es decir, sea

Lo que debemos hacer ahora es "despejar" el término independiente a0 el Polinomio P(r)=0


Por lo que podemos concluir que, puesto que todos los ai son enteros y r es entero, k es entero y por tanto es divisor de a0


2º EJEMPLO DE UTILIZACIÓN DE LA REGLA DE RUFFINI

Cuando usamos el algoritmo de la Regla de Ruffini, realmente lo que estamos haciendo es una división de polinomios, en este caso entre el polinomio P(x) y otro polinomio Q(x)=x-a; donde a es, como hemos visto, un divisor entero del término independiente del polinomio P(x).

Vamos con el ejemplo. Vamos a hallar las raíces enteras del polinomio

Los divisores de 6 son {+1,+2,+3,+6,-1,-2,-3,-6}, aunque este polinomio tendrá a lo sumo 4 raíces. Esto significa que muchos de estos divisores no serán raíces de P(x).

Lo primero que tenemos que hacer es colocar en fila los coeficientes de las x (incluyendo aquellos que son 0), en este caso

1 1 -7 -1 6

Seguidamente colocamos uno de los divisores de 6 a la izquierda y abajo de estos numeros y procedemos como se muestra en la siguiente figura:

Bajamos el primer coeficiente (1), y lo multiplicamos por el número que queremos "comprobar" (+1), el resultado lo ponemos debajo del segundo coeficiente (otro 1) y sumamos (2); la suma (2) la multiplicamos por el número que queremos "comprobar" (+1) y el resultado (2) lo ponemos debajo del siguiente coeficiente (-7), y volvemos a sumar (-5).
Continuamos este proceso hasta que llegamos a la última suma:

1. Si la última suma es 0, el número "a comprobar" es una raiz de P(x) (en este caso+1)
2. Si la última suma es distinta de 0, el número "a comprobar" no es raíz de P(x)

Procediento así, poco a poco coseguimos sacar todas las raíces enteras del polinomio P(x), que en este caso son cuatro y que son:

¿Cuánto mide?

Hola de nuevo.

Hoy os voy a proponer un problema geométrico que leí hace algún tiempo (aunque no recuerdo donde). El problema decía lo siguiente:

Sean 3 circunferencias de radio R, con los centros alineados y tangentes entre ellas. Desde el centro de la primera se traza una recta tangente a la tercera. Calcular la distancia (en función de R, claro está) de la cuerda delimitada por los puntos A y B.

Aquí os dejo una figura explicativa, no sin antes deciros que la solución la colgaré dentro de 15 días (No todo iba a ser coser y cantar...)

Ecuaciones de segundo grado

El otro día os expliqué cómo resolver ecuaciones de primer grado. Hoy os voy a hablar de las ecuaciones de segundo grado que son las que tienen la siguiente forma



Para resolver este tipo de ecuaciones podemos diferenciar diferentes casos:

Si a = 0. Como es obvio es una ecuación de primer grado

Si b=0. En este caso la ecuación queda como sigue:

La resolución implica despejar la incógnita y sacar su raíz cuadrada.


Si c=0. La ecuación queda como sigue:


De aquí despejamos la incógnita sacando factor común y pensando que para que la multiplicación de dos números sea 0, implica que o bien uno, o bien el otro son 0:

De donde deducimos las dos soluciones:


Si todos los coeficientes (a, b, c) son distintos de 0. Este es el caso más general y os doy el razonamiento para llegar a la fórmula general. Se trata de conseguir un cuadrado perfecto.

La ecuación de segundo grado, ya hemos dicho que tiene esta forma:


Si multiplicamos por 4a:


Si sumamos b^2, ya obtenemos el cuadrado perfecto:


Los pasos que nos restan son para despejar la x


Sacamos la raíz cuadrada (ojo que tiene dos signos!!!):

Y como véis, hemos llegado a la solución general de una ecuación de segundo grado.