Ternas Pitagóricas

Buenas tardes,

Hoy os voy a hablar de las Ternas Pitagóricas. Estos números (son 3, por eso se denominan terna), cumplen dos requisitos:
Son números enteros
Verifican el teorema de Pitágoras

Por ejemplo los números 3,4 y 5 forman una Terna. Las ternas son importantes, aparte de porque su estudio nos abre la puerta a propiedades profundas de los números enteros porque nos vana permintir medir ciertos ángulos.
¿Qué tipo de ángulos vamos a poder medir con las Ternas?
¿Podemos conseguir una forma para averiguar otras Ternas de forma sistemática?
¿Hay Ternas con todos los números impares o pares?

Estas preguntas y una aplicación de ellas os las contaré dentro de 2 semanas. Así os doy tiempo para que investiguéis sobre este tema

Números naturales

Los números naturales, constituyen el grupo de números más pequeño que existe. Mediante los números naturales podemos contar pues son: N={0, 1, 2, 3,…} Hay quien incluye el 0 como número natural y otros prefieren excluirlo.

El problema que tenemos con los números naturales es que no se pueden “construir”, es decir, no podemos razonar su existencia y su estructura. Este problema ya fue propuesto siglos atrás y fue el matemático italiano Giusseppe Peano quien propuso introducir los números naturales mediante cinco axiomas.

Un axioma no es más que un principio que no se puede demostrar, podemos justificarlo y podemos poner ejemplos de su veracidad, pero no se puede demostrar ni cierto ni falso. Los axiomas constituyen así los ladrillos de la Matemática, de forma que si se cambian los axiomas, se cambia el universo en el que nos movemos.

Como ejemplo de la importancia de los axiomas, baste por ejemplo aquel que propone en Geometría (denominada Euclídea) que por un punto exterior a una recta pasa únicamente una paralela a dicha recta. Si cambiamos este axioma y decimos que pueden pasar una, varias o ninguna recta, entramos en una nueva Geometría denominada Hiperbólica (por cierto con muchísimas aplicaciones prácticas).

Pero volvamos a los números naturales. Los cinco axiomas de Peano dicen lo siguiente:

• El 0 es un número natural
• Todo número natural posee sucesor
• Dos números naturales son iguales si tienen igual sucesor
• El 0 es el único número natural que no es sucesor de ningún otro
• Si una propiedad se cumple para el primer número natural y sus sucesores, entonces se cumple para todos los números naturales. Este último axioma, que se puede enunciar de diversas formas es lo que constituye el llamado Principio de Inducción, muy importante en la demostración de múltiples teoremas matemáticos.

Con estos axiomas podemos definir la suma y la multiplicación, pero no lo haremos aquí por escaparse a los objetivos de este blog. Lo que sí podemos hacer aquí es hablar de las distintas propiedades de la suma y de la multiplicación de los números naturales:

Para la suma tenemos las siguientes propiedades:

1. Conmutativa: a+b=b+a

2. Asociativa: a+(b+c)=(a+b)+c

3. Elemento Neutro: a+0=0+a=a

Para el caso de la multiplicación tenemos las siguientes propiedades:

1. Conmutativa: a·b=b·a

2. Asociativa: a· (b·c)=(a·b) ·c

3. Elemento Neutro: a·1=1·a=a

4. Propiedad distributiva respecto de la suma: a·(b+c)=a·b+a·c

Solución a ¿Cuánto mide?

Hola,

Como os prometí, voy a daros la solución al pasatiempo de ¿Cuánto mide?. En él os pedía que calculáseis la distancia de la cuerda de la figura siguiente.



Bueno, para ello debemos fijarnos en esta nueva figura que nos va a servir de guía en todo el proceso de cálculo:


En esta figura podemos ver dos triángulos semejantes:

• C1,C2,D
• C1,C3,E

También nos es posible ver la mediatriz del segmento AB (que representamos con la letra h), que forma parte de otros dos triángulos:

• C2,A,D
• C2,B,D

Pues bien, ahora empieza la parte de cálculo:

Aplicando el Teorema de Thales para los triángulos C1,C2,D y C1,C3,E; tenemos que:
O lo que es lo mismo


Ahora bien, usando el teorema de Pitágoras en el triángulo C2,A,D obtenemos el siguiente razonamiento:

Más sobre Ruffini

El otro día hablábamos de la Regla de Ruffini, la demostramos y dimos un ejemplo.
Navegando por la Red, he encontrado una página donde se explica una generalización de esta regla.

Os doy la página en cuestión y a ella os remito para la explicación de este algoritmo modificado de Ruffini.

http://www.planetamatematico.com/index.php?option=com_content&task=view&id=341&Itemid=147

En esta página lo que se hace es un algoritmo para la división de polinomios entre polinomios, sin necesidad de escribir la "cajita" a la derecha del Dividendo con el divisor en su interior y proceder a la división "estándard".

Os recomiendo que la visitéis, y que juguéis con los ejemplos que allí aparecen para que podáis familiarizaros con ello y podáis hacer división de polinomios de forma rápida y eficaz.

Regla de Ruffini

La regla de Ruffini es un algoritmo que se usa para saber los divisores enteros de un polinomio con coeficientes enteros.

Esto que puede sonar un poco a trabalenguas es sencillo. Podemos usar la Regla de Ruffini para polinomios del tipo:

Pero no podemos usar la regla de Ruffini en polinomios con raíces o quebrados (números no enteros) tanto en los coeficientes como en el término independiente:

Debemos observar que no tenemos porqué tener el polinomio con todos los coeficientes de las x dsitintos de cero. La única condición es que estos coeficientes sean números enteros (de hecho, el 0 es un número entero.

La entrada de hoy va a estar dividida en dos partes perfectamente diferenciadas. Por un lado vamos a demostrar la regla de Ruffini, y por otro lado vamos a aplicar el algoritmo y a explicar qué estamos haciendo con dicho algoritmo.

1º DEMOSTRACIÓN DE LA REGLA DE RUFFINI

El teorema en el cual se basa la regla de Ruffini dice lo siguiente

Las raíces enteras de un polinomio P(x) con coeficientes enteros, son divisores del término independiente

Supongamos un polinomio P(x) de grado n, con todos lo coeficientes enteros, como el que sigue


Sea r una raiz entera de P(x), es decir, sea

Lo que debemos hacer ahora es "despejar" el término independiente a0 el Polinomio P(r)=0


Por lo que podemos concluir que, puesto que todos los ai son enteros y r es entero, k es entero y por tanto es divisor de a0


2º EJEMPLO DE UTILIZACIÓN DE LA REGLA DE RUFFINI

Cuando usamos el algoritmo de la Regla de Ruffini, realmente lo que estamos haciendo es una división de polinomios, en este caso entre el polinomio P(x) y otro polinomio Q(x)=x-a; donde a es, como hemos visto, un divisor entero del término independiente del polinomio P(x).

Vamos con el ejemplo. Vamos a hallar las raíces enteras del polinomio

Los divisores de 6 son {+1,+2,+3,+6,-1,-2,-3,-6}, aunque este polinomio tendrá a lo sumo 4 raíces. Esto significa que muchos de estos divisores no serán raíces de P(x).

Lo primero que tenemos que hacer es colocar en fila los coeficientes de las x (incluyendo aquellos que son 0), en este caso

1 1 -7 -1 6

Seguidamente colocamos uno de los divisores de 6 a la izquierda y abajo de estos numeros y procedemos como se muestra en la siguiente figura:

Bajamos el primer coeficiente (1), y lo multiplicamos por el número que queremos "comprobar" (+1), el resultado lo ponemos debajo del segundo coeficiente (otro 1) y sumamos (2); la suma (2) la multiplicamos por el número que queremos "comprobar" (+1) y el resultado (2) lo ponemos debajo del siguiente coeficiente (-7), y volvemos a sumar (-5).
Continuamos este proceso hasta que llegamos a la última suma:

1. Si la última suma es 0, el número "a comprobar" es una raiz de P(x) (en este caso+1)
2. Si la última suma es distinta de 0, el número "a comprobar" no es raíz de P(x)

Procediento así, poco a poco coseguimos sacar todas las raíces enteras del polinomio P(x), que en este caso son cuatro y que son:

¿Cuánto mide?

Hola de nuevo.

Hoy os voy a proponer un problema geométrico que leí hace algún tiempo (aunque no recuerdo donde). El problema decía lo siguiente:

Sean 3 circunferencias de radio R, con los centros alineados y tangentes entre ellas. Desde el centro de la primera se traza una recta tangente a la tercera. Calcular la distancia (en función de R, claro está) de la cuerda delimitada por los puntos A y B.

Aquí os dejo una figura explicativa, no sin antes deciros que la solución la colgaré dentro de 15 días (No todo iba a ser coser y cantar...)

Ecuaciones de segundo grado

El otro día os expliqué cómo resolver ecuaciones de primer grado. Hoy os voy a hablar de las ecuaciones de segundo grado que son las que tienen la siguiente forma



Para resolver este tipo de ecuaciones podemos diferenciar diferentes casos:

Si a = 0. Como es obvio es una ecuación de primer grado

Si b=0. En este caso la ecuación queda como sigue:

La resolución implica despejar la incógnita y sacar su raíz cuadrada.


Si c=0. La ecuación queda como sigue:


De aquí despejamos la incógnita sacando factor común y pensando que para que la multiplicación de dos números sea 0, implica que o bien uno, o bien el otro son 0:

De donde deducimos las dos soluciones:


Si todos los coeficientes (a, b, c) son distintos de 0. Este es el caso más general y os doy el razonamiento para llegar a la fórmula general. Se trata de conseguir un cuadrado perfecto.

La ecuación de segundo grado, ya hemos dicho que tiene esta forma:


Si multiplicamos por 4a:


Si sumamos b^2, ya obtenemos el cuadrado perfecto:


Los pasos que nos restan son para despejar la x


Sacamos la raíz cuadrada (ojo que tiene dos signos!!!):

Y como véis, hemos llegado a la solución general de una ecuación de segundo grado.

Ecuaciones de primer grado

Hoy vamos a hablar de cómo resolver ecuaciones de primer grado.

Hay muchas maneras, y cada uno debe elegir el método que más le guste, pero yo os he resumido los pasos para resolver una ecuación de primer grado en los días de la semana com se puede ver en esta imagen que podéis descargar por si la queréis tener de guía.




Pero ya os digo, cada uno debe encontrar su método.

Una historia del Ajedrez

El ajedrez es un juego conocido por todos. Se compone de un tablero de 8x8 escaques de colores negro y blanco alternativamente.

Fue un juego inventado en la India, y cuenta la leyenda que el monarca Sheram, maravillado por el juego, quiso recompensar a su inventor, de nombre Zeta. Zeta era un hombre sabio, y pidió reflexionar sobre qué recompensa quería por el juego que acababa de inventar. Después de un tiempo pensándolo pidió audiencia ante el monarca y le pidió lo siguiente:

"--Señor, ordena que me den por el primer escaque del juego un grano de trigo. Por el segundo ordena que me den dos, cuatro granos de trigo quiero por el tercero, ocho granos por el cuarto, 16 granos por el quinto, 32 por el sexto...

--¡¡Basta!! -le espetó el monarca- tu ridícula recompensa será hecha"

Varios días después, los calculistas del Monarca acabaron los cálculos de cuántos granos de trigo debían recoger para Zeta, y al fin le dijeron: "

--Señor, satisfacer ese deseo es imposible. Ni en toda la superficie de la Tierra se podría encontra ese núemro de granos de trigo

. --¡¿Pero qué monstruoso número de granos de trigo debo dar a Zeta?!"

Bien, esto que estamos viendo no es más que la suma de una sucesión geométrica de razón dos. ¡VAMOS A CALCULAR CUANTO TRIGO QUERÍA ZETA!

Lo primero que debemos tener claro es cómo funciona una serie geométrica a medida que avanzamos desde el primer elemento, hasta que llegamos al elemento n:

Si ahora sumamos los dos términos, obtenemos lo siguiente:

Y si multiplicamos a todo por r, nos queda:

Ahora podemos restar las dos expresiones anteriores y obtenemos:


Y de aquí podemos despejar el valor de la suma (Sn)

Veamos ahora cuántos granos de trigo debía dar el monarca a Zeta:

• Número de escaques: n=64


• Razón: r=2


• Granos en el primer escaque: a1=1

Esto hace un total de:
Si suponemos que un grano de trigo pesa 2g, lo cual es pesar mucho, necesitaríamos 9.223.370.000.000 toneladas para satisfacer el premio. Bastante más de lo que produce la tierra actualmente en un año, y muchísimo más de lo que producía en aquella época.

Lo que hemos visto aquí es un uso ingenioso de las progresiones geométricas, hechas por un hombre sabio hacia otro poderoso pero que no sabía nada de matemáticas. Y para acabar el post una aplicación más directa y una pregunta:

1. ¿Si dejaras 100€ a un interés del 4% mensual (razón de 1,04), cuanto dinero tendrías al cabo de 10 años?


2. ¿Conoces algún otro tipo de progresión?