El ajedrez es un juego conocido por todos. Se compone de un tablero de 8x8 escaques de colores negro y blanco alternativamente.
Fue un juego inventado en la India, y cuenta la leyenda que el monarca Sheram, maravillado por el juego, quiso recompensar a su inventor, de nombre Zeta. Zeta era un hombre sabio, y pidió reflexionar sobre qué recompensa quería por el juego que acababa de inventar. Después de un tiempo pensándolo pidió audiencia ante el monarca y le pidió lo siguiente:
"--Señor, ordena que me den por el primer escaque del juego un grano de trigo. Por el segundo ordena que me den dos, cuatro granos de trigo quiero por el tercero, ocho granos por el cuarto, 16 granos por el quinto, 32 por el sexto...
--¡¡Basta!! -le espetó el monarca- tu ridícula recompensa será hecha"
Varios días después, los calculistas del Monarca acabaron los cálculos de cuántos granos de trigo debían recoger para Zeta, y al fin le dijeron: "
--Señor, satisfacer ese deseo es imposible. Ni en toda la superficie de la Tierra se podría encontra ese núemro de granos de trigo
. --¡¿Pero qué monstruoso número de granos de trigo debo dar a Zeta?!"
Bien, esto que estamos viendo no es más que la suma de una sucesión geométrica de razón dos. ¡VAMOS A CALCULAR CUANTO TRIGO QUERÍA ZETA!
Lo primero que debemos tener claro es cómo funciona una serie geométrica a medida que avanzamos desde el primer elemento, hasta que llegamos al elemento n:
Si ahora sumamos los dos términos, obtenemos lo siguiente:
Y si multiplicamos a todo por r, nos queda:
Ahora podemos restar las dos expresiones anteriores y obtenemos:
Y de aquí podemos despejar el valor de la suma (Sn)
Veamos ahora cuántos granos de trigo debía dar el monarca a Zeta:
- Número de escaques: n=64
- Razón: r=2
- Granos en el primer escaque: a1=1
Esto hace un total de:
Si suponemos que un grano de trigo pesa 2g, lo cual es pesar mucho, necesitaríamos 9.223.370.000.000 toneladas para satisfacer el premio. Bastante más de lo que produce la tierra actualmente en un año, y muchísimo más de lo que producía en aquella época.
Lo que hemos visto aquí es un uso ingenioso de las progresiones geométricas, hechas por un hombre sabio hacia otro poderoso pero que no sabía nada de matemáticas. Y para acabar el post una aplicación más directa y una pregunta:
- ¿Si dejaras 100€ a un interés del 4% mensual (razón de 1,04), cuanto dinero tendrías al cabo de 10 años?
- ¿Conoces algún otro tipo de progresión?
